Teorija

10. Tjedan

• Monotonost, ekstremi, zakrivljenost, točke infleksije i crtanje grafa
• Analiza funkcija i crtanje grafa

---

1. Monotonost funkcije

1.1. Definicija monotonosti (rastuće, padajuće, strogo rastuće, strogo padajuće)

Neka je $f$ funkcija definirana na intervalu $I$. Kažemo da je:

• Rastuća na $I$ ako za svaka $x_1, x_2 \in I$ i $x_1 < x_2$ vrijedi $f(x_1) \le f(x_2)$.
• Strogo rastuća na $I$ ako za svaka $x_1, x_2 \in I$ i $x_1 < x_2$ vrijedi $f(x_1) < f(x_2)$.
• Padajuća na $I$ ako za svaka $x_1, x_2 \in I$ i $x_1 < x_2$ vrijedi $f(x_1) \ge f(x_2)$.
• Strogo padajuća na $I$ ako za svaka $x_1, x_2 \in I$ i $x_1 < x_2$ vrijedi $f(x_1) > f(x_2)$.

Intuitivno, rastuća funkcija “penje se” kako $x$ raste, a padajuća funkcija “spušta se” kako $x$ raste.

1.2. Povezanost monotonosti s prvom derivacijom

Ako je funkcija $f$ derivabilna na intervalu $I$, tada:

• Ako je $f'(x) \ge 0$ za sve $x \in I$, funkcija je rastuća na tom intervalu.
• Ako je $f'(x) \le 0$ za sve $x \in I$, funkcija je padajuća na tom intervalu.
• Ako je $f'(x) > 0$ za sve $x \in I$, funkcija je strogo rastuća na tom intervalu.
• Ako je $f'(x) < 0$ za sve $x \in I$, funkcija je strogo padajuća na tom intervalu.

Ovo pravilo dolazi iz činjenice da predznak derivacije pokazuje “smjer” promjene funkcije.

1.3. Određivanje intervala monotonosti funkcije

Postupak za određivanje intervala monotonosti:

1. Izračunamo prvu derivaciju $f'(x)$.
2. Pronađemo kritične točke gdje je $f'(x) = 0$ ili gdje derivacija ne postoji.
3. Na temelju predznaka $f'(x)$ u pod-intervalima definiranima tim točkama utvrđujemo gdje je funkcija rastuća, a gdje padajuća.

Primjer

Neka je

$$f(x) = x^3 - 3x^2 + 1.$$

1. Derivacija:

$$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2).$$

2. Kritične točke: $x = 0$ i $x = 2$.
3. Podijelimo realnu os na intervale: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$, $(2, \infty)$.
   • Za $x < 0$: $3x(x-2) > 0$? Budući da je $x<0$ i $(x-2)<0$, produkt $3x(x-2)$ je pozitivan → funkcija je rastuća.
   • Za $0 < x < 2$: $x>0$, ali $(x-2)<0$ → produkt je negativan → funkcija je padajuća.
   • Za $x > 2$: oba faktora su pozitivna → funkcija je rastuća.

Dakle, $f$ raste na $(-\infty, 0)$, pada na $(0, 2)$ i ponovno raste na $(2, \infty)$.

1.4. Primjeri monotonih funkcija

• Linearna funkcija $f(x) = ax + b$:
  • Ako je $a>0$, strogo je rastuća.
  • Ako je $a<0$, strogo je padajuća.
• Eksponencijalna funkcija $f(x) = e^x$: uvijek strogo rastuća.
• Logaritamska funkcija $f(x) = \ln x$: strogo rastuća na svojoj domeni $(0, \infty)$.

---

2. Ekstremi funkcije

2.1. Definicija lokalnih i globalnih ekstrema

• Lokalni maksimum u točki $x_0$: $f(x_0)$ je veća od svih vrijednosti $f(x)$ u nekoj okolini točke $x_0$.
• Lokalni minimum: $f(x_0)$ je manja od svih vrijednosti $f(x)$ u nekoj okolini točke $x_0$.
• Globalni (apsolutni) maksimum: $f(x_0) \ge f(x)$ za sve $x$ u domeni funkcije.
• Globalni (apsolutni) minimum: $f(x_0) \le f(x)$ za sve $x$ u domeni funkcije.

2.2. Nužni uvjet za postojanje ekstrema

Ako je $f$ derivabilna u točki $x_0$ gdje postoji lokalni ekstrem, nužno je da $f'(x_0) = 0$. Ovo je dio Fermatova teorema. Napomena: $f'(x_0) = 0$ ne mora uvijek značiti ekstrem, ali ekstrem (ako je derivabilna funkcija) mora imati stacionarnu točku.

2.3. Prvi dovoljan uvjet za postojanje ekstrema

• Test predznaka derivacije:
  • Ako $f'(x)$ prelazi iz pozitivnog u negativno pri $x_0$, tamo je lokalni maksimum.
  • Ako $f'(x)$ prelazi iz negativnog u pozitivno pri $x_0$, tamo je lokalni minimum.

2.4. Drugi dovoljan uvjet za postojanje ekstrema (druga derivacija)

• Ako je $f'(x_0) = 0$ i $f''(x_0) > 0$, tada je $x_0$ lokalni minimum.
• Ako je $f'(x_0) = 0$ i $f''(x_0) < 0$, tada je $x_0$ lokalni maksimum.
• Ako je $f'(x_0) = 0$ i $f''(x_0) = 0$, drugi derivacijski test nije dovoljan, pa treba ispitati više derivacije ili koristiti druge metode.

2.5. Geometrijski ekstremi i njihovo značenje

Geometrijski gledano, ekstrem je točka gdje se tangenta “prelama” iz rastuće u padajuću (maksimum) ili iz padajuće u rastuću (minimum). U inženjerstvu i prirodnim znanostima, pronalaženje ekstrema bitno je za optimizaciju.

2.6. Primjeri pronalaženja ekstrema

Neka je

$$g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4.$$

1. Izračunamo derivaciju:

$$g'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3).$$

2. Nule derivacije: $x^2 - 4x + 3 = 0 \implies x = 1 \text{ ili } x = 3.$
3. Druga derivacija:

$$g''(x) = 6x - 12.$$

• $g''(1) = 6 - 12 = -6 < 0$ → lokalni maksimum pri $x=1$.
• $g''(3) = 18 - 12 = 6 > 0$ → lokalni minimum pri $x=3$.

---

3. Zakrivljenost funkcije

3.1. Definicija zakrivljenosti (konkavnost i konveksnost)

• Konveksna funkcija na intervalu: funkcija “nasmiješena”. Tangenta leži ispod grafa.
• Konkavna funkcija na intervalu: funkcija “namrgođena”. Tangenta leži iznad grafa.

3.2. Uloga druge derivacije u analizi zakrivljenosti

Neka je $f$ dvaput derivabilna na intervalu $I$.

• Ako je $f''(x) > 0$ za sve $x \in I$, tada je $f$ konveksna na $I$.
• Ako je $f''(x) < 0$ za sve $x \in I$, tada je $f$ konkavna na $I$.

3.3. Teorem o konveksnosti i konkavnosti

Ako je $f$ dvaput derivabilna i ako $f''(x)$ ne mijenja predznak na intervalu, tada:

• $f''(x)$ stalno pozitivna → $f$ je konveksna.
• $f''(x)$ stalno negativna → $f$ je konkavna.

3.4. Primjeri zakrivljenosti funkcija

• $f(x) = x^2$: $f''(x) = 2$, stalno pozitivno → konveksna na cijeloj realnoj osi.
• $f(x) = -x^2$: $f''(x) = -2$, stalno negativno → konkavna na cijeloj realnoj osi.
• $f(x) = x^3$: $f''(x) = 6x$, mijenja predznak u $x=0$ (ovdje se pojavljuje infleksija).

---

4. Točke infleksije

4.1. Definicija točke infleksije

Točka infleksije je točka na kojoj funkcija prelazi iz konveksne u konkavnu ili obratno. Graf se tu “lomi” u smislu zakrivljenosti.

4.2. Nužni uvjet za postojanje točke infleksije

Tipično je (ali nije uvijek jedini slučaj) da je $f''(x_0) = 0$ nužan uvjet za infleksiju, uz promjenu predznaka $f''(x)$ pri $x_0$.

4.3. Dovoljan uvjet za postojanje točke infleksije

• Ako $f''(x)$ mijenja predznak u $x_0$ (iz pozitivnog u negativno ili obratno) i ako $f''(x_0)$ postoji, tada $x_0$ jest točka infleksije.

4.4. Povezanost s trećom derivacijom

• Ako je $f''(x_0) = 0$ i $f'''(x_0) \neq 0$, to ukazuje na promjenu konkavnosti → točka infleksije.
• Ako je i $f'''(x_0) = 0$, detaljnija analiza viših derivacija je potrebna.

4.5. Primjeri točaka infleksije

• $h(x) = x^3$: $h''(x) = 6x$. Nula je pri $x=0$. Za $x<0$, $h''(x)<0$ (konkavnost), a za $x>0$, $h''(x)>0$ (konveksnost) → infleksija pri $x=0$.
• $k(x) = \sin x$: $k''(x) = -\sin x$. Nule drugoga reda nastaju gdje je $-\sin x=0 \implies \sin x=0 \implies x=n\pi$ ($n \in \mathbb{Z}$). Ovisno o promjeni predznaka $-\sin x$ u okolini tih točaka, dobivaju se točke infleksije.

---

5. Ispitivanje toka funkcije

5.1. Određivanje domene funkcije

Prvi korak: ispitujemo za koje je vrijednosti $x$ funkcija $f(x)$ definirana. Kod racionalnih, logaritamskih ili trigonometrijskih funkcija provjeravaju se uvjeti poput:

• Nazivnik $\neq 0$
• Argument logaritma $> 0$
• Unutar radikala nema negativnih vrijednosti (ako se radi o realnoj domeni)

5.2. Sjecišta grafa s koordinatnim osima

• Sjecište s $y$-osi: točka $(0,f(0))$ ako je $0$ u domeni.
• Sjecište s $x$-osi (nultočke): točke gdje $f(x) = 0$.

5.3. Simetrija, parnost i periodičnost funkcije

• Parna funkcija: $f(-x) = f(x)$ → simetrična u odnosu na $y$-os.
• Neparna funkcija: $f(-x) = -f(x)$ → simetrična u odnosu na ishodište.
• Periodična funkcija: postoji $T \neq 0$ takav da $f(x+T) = f(x)$ za sve $x$ (npr. $f(x) = \sin x$ ima period $2\pi$).

5.4. Analiza graničnih vrijednosti i asimptota

• Horizontalne asimptote: $\lim_{x \to \infty} f(x)$ ili $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.
• Kos(a) asimptota: Ako se $f(x)$ može približiti linearnom pravcu $ax + b$ pri $x \to \pm\infty$.
• Vertikalne asimptote: Moguće kad se nazivnik $\to 0$.

5.5. Pronalaženje ekstrema i intervala monotonosti

Kombiniramo rezultate iz monotonosti (pogled na $f'(x)$) i ekstrema (rješavanje $f'(x) = 0$), određujemo gdje funkcija raste, gdje pada, te koji su lokalni vrhovi/doline.

5.6. Pronalaženje točaka infleksije i intervala zakrivljenosti

Gledamo $f''(x)$. Ako $f''(x)$ prelazi s pozitivnog na negativno (ili obratno) u $x_0$, tu je infleksija. Na tim osnovama određuju se intervali konveksnosti i konkavnosti.

5.7. Skiciranje grafa funkcije na temelju prikupljenih podataka

Nakon svih koraka (domena, nultočke, asimptote, monotonost, ekstremi, konkavnost, infleksije), možemo izraditi točnu skicu grafa.

---

6. Crtanje grafa funkcije

6.1. Koraci za izradu grafa funkcije

1. Domena: Označimo područje na kojem je funkcija definirana.
2. Nultočke i sjecišta s osima: Markiramo točke $(x, 0)$ i $(0, f(0))$.
3. Asimptote: Ako postoje, prikažemo ih isprekidanim linijama.
4. Ekstremi: Ucrtamo lokalne i globalne maksimume/minimume.
5. Zakrivljenost i infleksije: Označimo intervale konkavnosti i konveksnosti, kao i eventualne infleksijske točke.
6. Dodatne značajke: Parna/neparna funkcija, periodičnost itd.

6.2. Integracija podataka o nultočkama, ekstremima, zakrivljenosti i asimptotama

Sve navedene informacije omogućuju nam da precizno oblikujemo graf. Na primjer, ako znamo da funkcija ima horizontalnu asimptotu $y = L$ za $x \to \infty$, onda će se krivulja približavati tom pravcu.

6.3. Identifikacija mogućih nelogičnosti prilikom crtanja

Ako se pri crtanju dobije nekonzistentan rezultat (npr. kontradikcija između zaključaka o rastu/padu i ekstremnim vrijednostima), treba provjeriti izračune derivacija i graničnih vrijednosti.

6.4. Primjeri crtanja grafova funkcija

• Polinomi (npr. $x^3 - 3x$): nema vertikalnih asimptota, ali mogu imati više ekstremnih točaka i eventualnu infleksiju.
• Racionalne funkcije (npr. $\frac{x}{x^2+1}$): mogu pokazivati vertikalne ili horizontalne asimptote i specifične osobine rasta/pada.

---

7. Zaključak

7.1. Važnost analize funkcije za njeno razumijevanje

Analiza toka funkcije, uz pomoć derivacija, omogućuje nam da razumijemo njezino ponašanje i oblik grafa. Bez takve analize, crtanje grafa bilo bi nasumično pokušavanje.

7.2. Primjene u znanosti i tehnici

• Fizika: maksimalna visina projektila (ekstrem), brzina promjene veličina.
• Ekonomija: optimizacija prihoda ili troškova, potražnja i ponuda.
• Inženjerstvo: projektiranje stabilnih konstrukcija (konkavnost/konveksnost), analiza signala itd.

7.3. Sinteza metoda za analizu i crtanje funkcija

Postupak:

1. Domena
2. Monotonost pomoću $f'(x)$
3. Ekstremi → rješavanje $f'(x)=0$ i ispitivanje
4. Zakrivljenost i infleksije → pregled $f''(x)$
5. Granične vrijednosti i asimptote
6. Sjecišta s osima
7. Simetrije i posebnosti

Kombinacija svih ovih koraka daje cjelovitu sliku o funkciji i omogućuje pouzdano crtanje njezina grafa.

Vježbe

Ispit

Koja od sljedećih tvrdnji točno definira strogo rastuću funkciju $f$ na intervalu $I$?

Za svaka $x_1, x_2 in I$ s $x_1 < x_2$, vrijedi $f(x_1) le f(x_2)$.

Za svaka $x_1, x_2 in I$ s $x_1 < x_2$, vrijedi $f(x_1) < f(x_2)$.

Postoji barem jedan $x in I$ za koji je $f'(x) > 0$.

Funkcija $f$ je konstantna na intervalu $I$.

Kako prva derivacija funkcije $f(x)$ utječe na monotonost funkcije?

Ako je $f'(x) > 0$ za sve $x$ u intervalu, funkcija je strogo padajuća.

Ako je $f'(x) < 0$ za sve $x$ u intervalu, funkcija je strogo rastuća.

Ako je $f'(x) > 0$ za sve $x$ u intervalu, funkcija je strogo rastuća.

Prva derivacija nema utjecaja na monotonost funkcije.

Koji su koraci za određivanje intervala monotonosti funkcije $f(x)$?

Izračunamo drugu derivaciju, pronađemo infleksijske točke, analiziramo predznake.

Izračunamo prvu derivaciju, pronađemo kritične točke, analiziramo predznake prve derivacije na intervalima.

Odredimo domenu funkcije, pronađemo nultočke, analiziramo simetriju.

Izračunamo limes funkcije, pronađemo asimptote, analiziramo zakrivljenost.

Koja funkcija je strogo padajuća na cijeloj realnoj osi?

$f(x) = x^2$

$f(x) = -e^x$

$f(x) = ln x$

$f(x) = x^3$

Što lokalni maksimum funkcije $f$ znači geometrijski?

Tangenta na graf funkcije je vertikalna.

Graf funkcije ima vrh koji je viši od susjednih točaka.

Funkcija je konstantna u okolini točke.

Graf funkcije ima infleksijsku točku.

Koji je nužni uvjet za postojanje lokalnog ekstrema funkcije $f$ u točki $x_0$?

$f''(x_0) = 0$

$f'(x_0) = 0$

$f'(x_0) eq 0$

$f(x_0) = 0$

Kako druga derivacija funkcije $f(x)$ pomaže u određivanju konkavnosti ili konveksnosti funkcije?

Ako je $f''(x) > 0$, funkcija je konkavna; ako je $f''(x) < 0$, konveksna.

Ako je $f''(x) > 0$, funkcija je konveksna; ako je $f''(x) < 0$, konkavna.

Ako je $f''(x) = 0$, funkcija je linearna.

Druga derivacija ne utječe na zakrivljenost funkcije.

Što je točka infleksije funkcije $f(x)$?

Točka gdje je prva derivacija nula.

Točka gdje funkcija ima lokalni maksimum ili minimum.

Točka gdje funkcija prelazi iz konveksne u konkavnu ili obratno.

Točka gdje je druga derivacija maksimalna.

Koji je dovoljan uvjet za postojanje točke infleksije u točki $x_0$?

$f''(x_0) = 0$ i $f'''(x_0) = 0$.

$f''(x_0) eq 0$.

$f''(x_0) = 0$ i $f'''(x_0) eq 0$.

$f'(x_0) = 0$.

Koji od sljedećih koraka NI pripada postupku crtanja grafa funkcije?

Određivanje domene funkcije.

Pronalaženje točaka infleksije i intervala zakrivljenosti.

Izračunavanje integralne vrijednosti funkcije.

Određivanje sjecišta grafa s koordinatnim osima.